Fonctions du type ​x->e^{kx}

Propriété

Soit \(k\in\mathbb R\).
La fonction \(f:x\mapsto \text e^{kx}\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et sa dérivée est \(f^{\prime}(x)=k\text e^{kx}\).

Remarques

• Comme éléments de preuve de cette propriété, on peut utiliser la dérivée d'une composée de fonction \(\)\(x\mapsto f(ax+b)\) qui est la fonction \(x\mapsto af^{\prime}(ax+b)\) avec \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\text e^x, a=k\) et \(b=0\). 
  
•  La fonction \(f\) vérifie la relation suivante : pour tout \(x\in\mathbb R, f^{\prime}(x)=kf(x)\).
  
• Les fonctions de la forme \(x\mapsto \text e^{kx}\)présentent un grand intérêt en physique-chimie, par exemple dans l’étude de la radioactivité.
  

Exemples

• Soit\(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\text e^{16x}\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et, pour tout nombre réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=16\text e^{16x}\).
  
• Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=\text e^{-1,2x}\). \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et, pour tout nombre réel \(x\), \(g^{\prime}(x)=-1{,}2\text e^{-1,2x}\).
  

Propriétés

1. Si \(k>0\), alors \(x\mapsto \text e^{kx}\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
2. Si \(k=0\), alors \(x\mapsto \text e^{kx}\) est constante sur \(\mathbb R\).
3. Si \(k<0\), alors \(x\mapsto \text e^{kx}\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).

Exemples

Si on reprend les deux exemples ci-dessus, alors :

• \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\) puisque \(16\) est strictement positif.
  
• \(g\) est strictement décroissante  sur \(\mathbb R\) puisque \(-1{,}2\) est strictement négatif.